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人造卫星引力势能公式的微积分推导

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本文系统阐述万有引力产生的引力势能概念,引力势能计算式的推导过程(微积分),引力势能与引力做功关系。

由引力势能反思:高考物理复习注意知识回顾

高考物理命题的一大特点就是综合,一道复杂的计算题,往往会涉及到多个章节的内容,需要联立很多公式求解计算。

对高三学生而言,在复习完了《机械能》这个章节之后,我们就会反过头来研究上个章节《万有引力与航天》部分的能量:引力势能。

同学们可以看一下第六章《万有引力与航天》的内容,这个章节中我们一直探究的是物理量是:万有引力、向心力、星体的周期、密度等物理量,没有研究能量的涉及;因为能量和功率是在《机械能》这部分才讲的。

引力势能的微积分推导视频讲解

引力势能的概念

物体由于受到万有引力的作用而具有的能量,叫做引力势能。引力势能与万有引力做功之间存在对应关系。

引力势能大小与万有引力做功

引力势能增加的过程,物体在克服万有引力做功,做功的大小与引力势能的增加量相等。

引力势能减小的过程,则万有引力对物体做正功,做功的大小与引力势能的减小量相等。

天体中的引力势能

人造卫星能量分析

天体运动而言,研究的主要能量是引力势能+动能。

人造卫星的总能量包括两种类型:动能和引力势能。总能量为两者之和;这里的引力势能是卫星相对于地球(而非太阳)而言的。

对人造卫星而言,距离地球越远,具有的总能量越大。

具体来看:

R越大,E总=Ek+Ep越大;

R越大,Ek越小;

R越大,Ep越大;

(Ep的增量比Ek的减量要大,或者说Ep增大的率,要比Ek减小的率大)

宇宙速度

Ek随着轨道半径R减小,可以通过向心力=万有引力的公式与动能的定义式推导出来。

在宇宙中的运动,如果推力器的引擎是关闭的,那么人造卫星的机械能是守恒的,因为只有重力做功;运动过程中,只有引力势能和动能之间的转化。

补充一点:人造卫星一分为二的过程除外;该过程是动量守恒

只有万有引力做功下卫星的运动能量分析

只有万有引力做功,卫星的机械能是守恒的。

在卫星的实际运行中,往往是要借助推进器的能量(如化学能、电能、核能),实现卫星的加速(或改变运动轨迹),提高卫星的总能量。

同样的逆过程,也是成立的。比如陨石撞地球,就是地球引力对陨石做功,增大陨石动能的过程。从能量的角度来看,就是引力势能转化为了陨石的动能。

人造卫星引力势能公式的微积分推导

引力势能wuli.in的物理表达式是:Ep=-GMm/R;

其中Ep是引力势能,G是万有引力常量;M是地球的质量,m为研究对象的质量,R为m距离地球中心的距离;负号表示的是,引力势能为负值。因为我们规定的是无穷远处为零势能面。

引力势能的表达式是怎么来的?王尚老师给同学们做了一个微积分的推导,见下图所示:

其中A为人造卫星目前所在的位置;B为无穷远处的一个点(该点的引力势能为零);

把质量为m的卫星从A推到B点,至少要做的功的计算式如下图:

引力势能公式推导过程(微积分)

王尚新书物理自诊断每道题都有视频讲解,哪道题不会扫题旁二维码即可看视频,学习更高效考试分数更高,欢迎添加微信teacherws咨询。从功和能之间的关系来分析,功的大小,等于能量的大小。只不过,在A点卫星的势能为负的。

为什么是负的,同学们可以想一想把一个物体举高的过程,做的功与重力势能的改变及对应关系。对这一点不熟悉的同学,在解题的时候可以考虑都计算正数,最好再来讨论正负号的问题,这样是有利于多的分数的。

为了便于同学们深入理解引力势能的推导过程,我们再来复习一下功能关系的相关概念。

功能关系

我们先来对功和能的联系与区别进行复习,功能关系详细解析请看本文底部的参考文章。功是一个过程量(某个时间段内做的功),能量是一个状态量(对应某个时刻的能量)。

两者的单位是相同的(都是J),但不能说功就是能,也不能说“功变成了能”。

功是一种过程量,它和一段位移(一段时间)相对应。

能是一种状态量(静态量),它和一个时刻相对应。

或者说,能量是一个“点”,而功是从一个点到另一个点之间的“线”。

在不同形式的能量发生相互转化的过程中,功扮演着重要的角色,但不能说功就是能,也不能说“功变成了能”。  

功能关系到底在说什么?

我们先来说结论。功能关系研究的问题是:在研究过程中,力所做的功,到底转化为了什么能量? 

高中物理课本上有这么一句话,做功的过程是能转化的过程,功是能转化的量度。这句话说得很抽象,很深奥,同学们需要借助具体模型来理解,比如类似重力做功与重力势能关系,比如弹簧弹力做功与弹性势能变化关系,比如类似今天我们探究的引力做功与引力势能模型来理解。

从功能关系不难看出:引力势能与万有引力做功之间的相互对应关系。具体是:

引力势能增加的过程,物体在克服万有引力做功,做功的大小与引力势能的增加量相等。

引力势能减小的过程,则万有引力对物体做正功,做功的大小与引力势能的减小量相等。

引力势能学习问题与王尚老师答疑

王尚老师物理答疑

学生问题:第二宇宙速度与引力势能有何关联?

王尚老师:第二宇宙速度指的是,从地球表面以该速度发射卫星,卫星会逃逸出地球的引力,成为绕着太阳运行的人造行星。第二宇宙速度的大小是13.4km/s,具体推导过程可看下方王尚老师的参考文献。第二宇宙速度其实就是让卫星的速度达到,足以克服地球引力势能,从而从地球的引力范围内逃逸出去,进入太阳系。想深入理解万有引力与人造卫星等考点,笔者推荐同学们认真做物理自诊断专题15、专题16与专题17的习题,把视频都好好看看。

学生问题:引力势能的表大会,为何是负数?

王尚老师:与重力势能类似,我们研究所有的势能(包括电势能)都是要首先规定零势能面的。如果我们规定地面为零势能面,那么地下室的物体所具有的引力势能就都是负的。即把这些物体,搬到地面上是要做功的,要克服重力做功。同一的道理,我们规定了无穷远处为零引力势能面,就像是规定楼顶为零势能面,所有的居民所具有的势能就都为负数了。您最好是画个图,再结合文章上方的视频去理解一下。想深入理解万有引力与人造卫星等考点,我推荐大家认真做物理自诊断专题15、专题16与专题17的习题,把视频都好好看看。

参考文献

六大宇宙速度介绍http://cqzxsw.com/top/473865.html

三大宇宙速度http://cqzxsw.com/zongjie/kaodian/437663.html

开普勒三大定律http://cqzxsw.com/top/480421.html

人造卫星http://cqzxsw.com/zongjie/kaodian/480392.html

万有引力http://cqzxsw.com/zongjie/kaodian/43180.html

三个宇宙速度的数值http://blog.teacherws.com/wen/13451.html

高中物理必修2重要考点汇总http://cqzxsw.com/zongjie/b2/480777.html

第二宇宙速度的推导http://i.cqzxsw.com/research/14199.html

功能关系http://cqzxsw.com/zongjie/kaodian/43174.html

作者:王尚,苏阳。校正:齐思源。版权归属大发极速快3—欢迎来到重庆中学生论坛(cqzxsw.com),严禁转载。

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